Неоднородное уравнение теплопроводности с неоднородными граничными условиями

Решение ищем в виде . Подставим этот вид решения в уравнение:. В случае неоднородного уравнения (см. п.2) решение ищем в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, возникающей при решении однородного уравнения.

Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет , а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит. В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения.

Напомним, что уравнения в частных производных решаются совместно с дополнительными условиями (начальными или краевыми). Метод Фурье в первую очередь применяется к уравнениям с однородными краевыми условиями, т.е. требуется обращение искомой функции в нуль на границе рассматриваемой области. Основная идея метода заключается в поиске решения в виде произведения функций, каждая из которых зависит от своей переменной.

1) Последняя пропорция объясняется тем, что соотносятся функции разных аргументов, а получается одно и то же. В связи с этим отношение должно быть числом. Получаем задачу. Решить задачу Штурма-Лиувилля – значит найти все , которым соответствуют нетривиальные решения, называемые собственными функциями. Легко видеть, что в данном случае при есть только тривиальные решения. Это собственные значения задачи Штурма-Лиувилля, собственные функции.

Коэффициенты снабжены индексом, т.к. они будут содержать . Это следует из того, что это уравнение получено из той же пропорции, что и первое уравнение, т.е. оба уравнения связаны. Итак, мы нашли одно решение, удовлетворяющее краевым условиям.

Уравнение может описывать, в частности, колебания струны длиной с закреплёнными концами. Соответственно, решение представляется в виде линейной комбинации собственных колебаний всех возможных в такой ситуации частот — комбинации стоячих волн (отсюда и другое название метода). Рассматривается задача.

Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Представим неоднородность уравнения в виде . Умножим скалярно всё исходное уравнение задачи на функцию (произведение понимается в том же смысле, что и в предыдущем пункте):. Это обыкновенное дифференциальное уравнение, которое решается вместе с начальными условиями.

Аннотация научной статьипо математике, автор научной работы — Кащеев М. В.

Решая данную задачу Коши, находим функции и подставляем их в общий вид решения. Ещё усложнили задачу: теперь к неоднородности уравнения добавляются неоднородные начальные условия. В этом случае применяется метод редукции, используемый в математической физике не так уж редко. Мы разобьём задачу на две более простые. Из них мы найдём функции и , которые в сумме дадут искомую функцию.

Вспомогательная функция в этот раз примет на себя краевые условия. Запишем и потребуем, чтобы. В силу таких требований зависимость функции от переменной практически определена, а вот зависимость от переменной пока ничем не ограничена. Чтобы не усложнять себе задачу, выберем эту функцию линейной по переменной , тогда вторая производная . Выберем функцию.

Научная статьяпо специальности «Математика» из научного журнала «Ученые записки Российского государственного социального университета», Кащеев М. В.

Метод Фурье неудобен тем, что решение получается в виде ряда, который скорее всего суммировать не удастся. Мы не рассматривали применение метода Фурье с использованием криволинейных координат, так как обычно это приводит к появлению в ответе специальных функций, а это предмет отдельного обсуждения. Правда, возникающие в процессе разделения переменных дифференциальные уравнения иногда приводят к функциям, не являющимся элементарными (см., например, здесь).

УМФ. Метод Фурье (стоячих волн)

В данном случае следует рассмотреть уравнение Лапласа и применить к нему стандартную схему разделения переменных. Возвращаемся к неоднородному уравнению и ищем его решение в виде. Скалярно умножаем уравнение Пуассона на функцию :. Замечаем, что. Вычисляем скалярное произведение. Учтём, что в этом ряде слагаемые, отвечающие чётным значениям индекса суммирования, обращаются в нуль. Запишем решение всей исходной задачи:.

Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Таким образом, функцию ищем в виде. Учитываем начальное условие:. Приходим к дифференциальному уравнению с начальным условием . Его решение. Решить уравнение теплопроводности численно эквивалентно решению (sparse) системы линейных уравнений. Решение имеет хорошо известные свойства, итд итп. В то же время полученный ряд достаточно бесполезен.

И самое смешное, что после того, как вы всю эту работу проделали, вычислительно посчитать ответ может быть сильно сложнее, чем решить систему уравнений.

Ну и это не говоря уж о том, что для мало-мальски нетривиальной геометрии области где решается та же задача теплопроводности, точного решения в виде ряда как правило получить нельзя. Вот что было полезно, так это «физическая» интуиция, т.е. вещи типа «решение уравнения лапласа не может иметь локальный экстремум во втутренней точке», такого нужно больше.

В силу наложенных на условий функцию (11.11) можно дифференцировать раз по х под знаком интеграла. Согласно (11.10) подынтегральная функция в (11.13) при нечетна. Сформулированный в лемме 6.4 способ построения начально-краевой задачи (11.6) — (11.8) на полупрямой называется методом продолжения. В случае однородного граничного условия Неймана в формуле и согласно формуле (11.10) функция должна быть нечетной.

Тем самым она является классическим решением задачи (11.6) — с граничным условием Дирихле. Вывод уравнений диффузии и теплопроводности основывается на классической физике, поэтому в них нет учёта квантовых и релятивистских эффектов.

Общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. ЛЕКЦИЯ 4. Дифференциальные уравнениях в частных производных. Задача Коши для уравнения первого порядка. Функция называется функцией Грина задачи Дирихле для уравнения теплопроводности на полупрямой. ЛЕКЦИЯ 6. Линейные уравнения в частных производных второго порядка, их преобразование и классификация.

Популярное:

  • Дискретизация сигналов и функцийДискретизация сигналов и функций Курсовая работа 4 – Исследовать и обосновать оптимальный метод полиномиальной интерполяции произвольных данных с неравномерным шагом дискретизации. 2. График В – частота […]
  • Перевод на английскийПеревод на английский На странице по данной вами ссылке his spots есть в заголовке, в стихе Библии (к которому восходит это выражение) и в одном примере. Head Over Heels Идиома означает «быть […]
  • Коррекция и развитие письменной и устной речи у детей от 5 до 14 лет» СКоррекция и развитие письменной и устной речи у детей от 5 до 14 лет» С Купила эту книгу для занятий с ребенком. Книга больше подходит детям с дефицитом внимания,тк. Конечно в каждой игре ребенок будет чему-то учится, познавать новое. Но есть хорошая […]